Question

對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；
（Ⅲ）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束．

Answer 1

（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．       ……2分
數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．
……………3分
（Ⅱ）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．……4分
若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……5分
當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．
當(dāng)時(shí)，數(shù)列．
由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．
其它情形同理，得證．
在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．         ………8分
所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．
（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”．
證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．
令，，其中．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211129851476.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以，
故，證畢．                    ……………9分
現(xiàn)將數(shù)列分為兩類(lèi)．
第一類(lèi)是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，．     
第二類(lèi)是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)．
下面證明第二類(lèi)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類(lèi)數(shù)列．
不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）
①當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，
若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；
若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；
若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；
若，則；；，
此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．
②當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；
若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列．
③當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，
，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．
總之，第二類(lèi)數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”，就會(huì)得到第一類(lèi)數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開(kāi)始減少．
又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，
故經(jīng)過(guò)有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束．                ………………13分

略