【題目】如圖,點(diǎn)在拋物線外,過點(diǎn)作拋物線的兩切線,設(shè)兩切點(diǎn)分別為,,記線段的中點(diǎn)為.

(Ⅰ)求切線,的方程;

(Ⅱ)證明:線段的中點(diǎn)在拋物線上;

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)為圓上的點(diǎn),當(dāng)取最大值時,求點(diǎn)的縱坐標(biāo).

【答案】(Ⅰ)切線的方程為,切線的方程為.

(Ⅱ)見證明;(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線,的方程;(Ⅱ)由(1)可得,故.再結(jié)合M點(diǎn)的坐標(biāo)即可明確在拋物線上;(Ⅲ)由題意可得. 設(shè),則.結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果.

(Ⅰ)切線的方程為,即,

同理可得,切線的方程為.

(另解:設(shè)切線的方程為:

消去后可得:

∴切線的方程為,即,

同理可得,切線的方程為.

(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)既在切線上,也在切線上,

由(1)可得,,故,.

又點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故在拋物線上.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知: ,

,所以 .

設(shè),則.

當(dāng)時,即當(dāng)時,取最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕,當(dāng)天每售出個獲得利潤元,未售出的每個虧損元.根據(jù)以往天的資料統(tǒng)計(jì),得到如下需求量表.元日這天,此蛋糕店制作了這款蛋糕個.以(單位:個, )表示這天的市場需求量. (單位:元)表示這天出售這款蛋糕獲得的利潤.

需求量/個

天數(shù)

15

25

30

20

10

(1)當(dāng)時,若時獲得的利潤為 時獲得的利潤為,試比較的大;

(2)當(dāng)時,根據(jù)上表,從利潤不少于元的天數(shù)中,按需求量分層抽樣抽取天,

(。┣筮@天中利潤為元的天數(shù);

(ⅱ)再從這天中抽取天做進(jìn)一步分析,設(shè)這天中利潤為元的天數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)對一種新品種小麥在一塊試驗(yàn)田進(jìn)行試種.從試驗(yàn)田中抽取株小麥,測量這些小麥的生長指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:

生長指標(biāo)值分組

頻數(shù)

(1)在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(2)求這株小麥生長指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(3)由直方圖可以認(rèn)為,這種小麥的生長指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù), 近似為樣本方差.

①利用該正態(tài)分布,求;

②若從試驗(yàn)田中抽取株小麥,記表示這株小麥中生長指標(biāo)值位于區(qū)間的小麥株數(shù),利用①的結(jié)果,求.

附: .

,則,

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,AD=2BC=2,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點(diǎn),△PAD為正三角形,M是棱PC上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)).

(1)若M為PC的中點(diǎn),求證:PA∥平面BME;

(2)是否存在點(diǎn)M,使二面角MBED的大小為30°.若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f (x)=ln x+x2-ax(a為常數(shù)).

(1)若x=1是函數(shù)f (x)的一個極值點(diǎn),求a的值;

(2)當(dāng)0<a≤2時,試判斷f (x)的單調(diào)性;

(3)若對任意的a∈(1,2),x0∈[1,2],不等式f (x0)>mln a 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且,由市場調(diào)研知,每輛車售價(jià)6萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

1)求出2019年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額成本)

22019年產(chǎn)量為多少(百輛)時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)坐標(biāo)都伸長為原來的倍,得到曲線,在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的單位長度,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線的極坐標(biāo)方程為

(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn),求它到直線的距離的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)內(nèi)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若存在正數(shù),對于任意的,不等式恒成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

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