Question

【題目】已知函數(shù)f (x)＝ln x＋x2－ax(a為常數(shù)).

(1)若x＝1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；

(2)當(dāng)0＜a≤2時(shí)，試判斷f (x)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f (x0)＞mln a 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）求出,由列方程即可求的值；（2）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（3）問題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根單調(diào)性求出的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：　f ′(x)＝＋2x－a.

(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a＝0，所以a＝3，經(jīng)驗(yàn)證符合題意.

(2)當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f ′(x)＝＋2x－a＝

＝.

因?yàn)?＜a≤2，所以1－＞0，而x＞0，

即f ′(x)＝＞0，

故f (x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).

(3)當(dāng)a∈(1，2)時(shí)，由(2)知，f (x)在[1，2]上的最小值為f (1)＝1－a，

故問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈(1，2)，

不等式1－a＞mln a恒成立，即m＜恒成立.

記g(a)＝ (1＜a＜2)，則g′(a)＝.

令M(a)＝－aln a－1＋a，則M′(a)＝－ln a＜0，

所以M(a)在(1，2)上單調(diào)遞減，

所以M(a)＜M(1)＝0，故g′(a)＜0，

所以g(a)＝在a∈(1，2)上單調(diào)遞減，

所以m≤g(2)＝＝－log2e，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－log2e].