Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】(1)，；(2).

【解析】試題分析：(1)根究極坐標與直角坐標的互化公式，即可得到直線的直角坐標方程，利用曲線的變換，在消去參數(shù)，即可得到曲線直角坐標方程；

(2)由點在曲線上,設點的坐標為，利用點到直線的距離公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可得到結(jié)論.

試題解析：

(1)因為直線的極坐標方程為,所以有

，即直線的直角坐標方程為:

因為曲線的的參數(shù)方程為(為參數(shù)),經(jīng)過變換后為(為參數(shù))

所以化為直角坐標方程為:

(2)因為點在曲線上,故可設點的坐標為，

從而點到直線的距離為

由此得,當時,取得最大值,且最大值為