Question

【題目】已知動圓過定點(diǎn)，且與定直線相切，點(diǎn)在上.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）試過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線相交于兩點(diǎn)。問：能否為正三角形？

（3）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）不能,理由見解析 （3）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知動圓的圓心軌跡為拋物線,即可求得軌跡方程.

（2）寫出直線方程,聯(lián)立后可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)正三角形三條邊相等,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,可利用兩個方程分別解的縱坐標(biāo),如果兩個方程的解相等就存在這樣的正三角形,如果兩個方程的解不相等就不存在.

（3）根據(jù)斜率存在,設(shè)出兩條直線方程,聯(lián)立拋物線后根據(jù)韋達(dá)定理可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.將根據(jù)向量的加法運(yùn)算化簡,即可得,根據(jù)拋物線定義可轉(zhuǎn)化為四個交點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式,將韋達(dá)定理表示的式子代入,即可得關(guān)于斜率的等式,再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.

（1）因?yàn)閯訄A過定點(diǎn)，且與定直線相切

所以動圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等

由拋物線定義可知,動圓圓心的軌跡是拋物線

該拋物線以為焦點(diǎn),以為準(zhǔn)線

所以動圓圓心的軌跡的方程為

（2）不能為正三角形.理由如下:

過點(diǎn)且斜率為的直線方程為

則整理化簡可得

直線與曲線相交于兩點(diǎn).解方程組可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>在上,所以設(shè),且能為正三角形

則,即滿足

當(dāng)時,由兩點(diǎn)間距離公式得

解方程可得

當(dāng)時,由兩點(diǎn)間距離公式得

解方程可得

因?yàn)閮蓚�方程的解不相同,所以不存在這樣的C點(diǎn),使為正三角形

即不能為正三角形.

（3）因?yàn)檫^點(diǎn)作的兩條斜率存在的直線

設(shè)直線的斜率為,則的方程為,與軌跡相交于,設(shè)

由整理化簡可得

則

因?yàn)橹本�互相垂直,則直線的斜率為,其方程可設(shè)為,與軌跡相交于點(diǎn),設(shè)

由整理化簡可得

則

所以

因?yàn)橹本�互相垂直

則

則

由拋物線定義可知

所以

由基本不等式可知

當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.即的最小值為