Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（ii）求證：且為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)(i) (ii)證明見解析.

【解析】

(1),對(duì)分類討論：,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性;

(2)(i)由(1)可知，當(dāng)時(shí)單調(diào),不存在兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),可求得有唯一極大值,令其大于零,可得到的范圍,再判斷極大值點(diǎn)左右兩側(cè)附近的函數(shù)值小于零即可;

(ii)構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

由題意知,所以.

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),令，解得；

令，解得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)(i) 函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),其中.

由(1)知, 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,此時(shí)為函數(shù)的最大值.

當(dāng)時(shí),最多有一個(gè)零點(diǎn),

所以,解得

此時(shí),,且，.

令,

則,

所以在上單調(diào)遞增,

所以即,

所以的取值范圍是.

(ii)因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以,,

所以,即,所以.

構(gòu)造函數(shù)

,

則,

所以在上單調(diào)遞減,

又因?yàn)?/span>,

所以,

因?yàn)?/span>

所以,又

所以

由(1)知在上單調(diào)遞減得：即

又因?yàn)?/span>,所以

即,

又因?yàn)?/span>，所以

所以.