Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；

（Ⅲ）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別求實(shí)數(shù)與的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）,

【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，代入即可．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的增區(qū)間，進(jìn)而確定的范圍．
（Ⅲ）把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，確定的范圍，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱，求得的值，進(jìn)而表示出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其范圍．

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由

得

∴在區(qū)間上是增函數(shù)

∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)

若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則

∴， 解得

∴的最大值是

（Ⅲ）方程在區(qū)間內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根等價(jià)于

直線與曲線（）有兩個(gè)交點(diǎn).

∵當(dāng)時(shí)， 由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 且

∴

即實(shí)數(shù)的取值范圍是

∵函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱

∴.

∵，∴.

∴.

∵函數(shù)在內(nèi)遞增

∴

∴

的取值范圍為.