Question

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，先對(duì)求導(dǎo)，利用，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性的變化，判斷有無極值；第二問，將已知的恒成立問題轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出最小值；第三問，利用第二問的結(jié)論進(jìn)行變形，得到類似所證結(jié)論的表達(dá)式，通過式子的累加得到所證結(jié)論.
試題解析：（1）當(dāng)x>0時(shí)，，有
；
所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得
所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.              4分
（2）當(dāng)時(shí)，   5分
令，由題意，在上恒成立
   6分
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以在上單調(diào)遞增，．   8分
因此，   在上單調(diào)遞增，．
所以．所求實(shí)數(shù)的取值范圍為      9分
（3）由（2），當(dāng)時(shí)，即，即．   10分
從而．             12分
令，得，
 將以上不等式兩端分別相加，得
          14分