【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求在上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時,證明:在上存在最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,最后根據(jù)點斜式得直線方程,(Ⅱ)先求導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上零點,列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,即得單調(diào)區(qū)間,(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)零點情況,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值.
(Ⅰ)因為,所以
則,,所以切線方程為
(Ⅱ)令,即,,得
當(dāng)變化時,變化如下:
0 | |||
減 | 最小值 | 增 |
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅲ)因為,所以
令,則
因為,所以
所以即在內(nèi)有唯一解
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以,又因為
所以在內(nèi)有唯一零點
當(dāng)時,即,
當(dāng)時,即,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在處取得最小值
即時,函數(shù)在上存在最小值
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【題目】如圖所示,在長方體中,點E是棱上的一個動點,若平面交棱于點F,給出下列命題:
①四棱錐的體積恒為定值;
②對于棱上任意一點E,在棱上均有相應(yīng)的點G,使得平面;
③O為底面對角線和的交點,在棱上存在點H,使平面;
④存在唯一的點E,使得截面四邊形的周長取得最小值.
其中為真命題的是____________________.(填寫所有正確答案的序號)
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【題目】已知定點,動點在軸上運動,過點作直線交軸于點,延長至點,使.點的軌跡是曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若,是曲線上的兩個動點,滿足,證明:直線過定點;
(3)若直線與曲線交于,兩點,且,,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓長半軸長;
(2)求最大值;
(3)若直線分別與軸交于點,求證:的面積與的面積的乘積為定值.
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【題目】為降低空氣污染,提高環(huán)境質(zhì)量,政府決定對汽車尾氣進行整治.某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車尾氣凈化器,為保證凈化器的質(zhì)量,分別從甲、乙兩種型號的凈化器中隨機抽取100件作為樣本進行產(chǎn)品性能質(zhì)量評估,評估綜合得分都在區(qū)間.已知評估綜合得分與產(chǎn)品等級如下表:
根據(jù)評估綜合得分,統(tǒng)計整理得到了甲型號的樣本頻數(shù)分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖(圖表如下).
甲型 乙型
(Ⅰ)從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機抽取一件,估計這件產(chǎn)品為二級品的概率;
(Ⅱ)從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機抽取3件,設(shè)隨機變量為其中二級品的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),請自定標準,對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進行比較.
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【題目】某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車,為制定適宜的經(jīng)營策略,該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進行單車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段.在隨機問卷階段,A,B兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回;在整理分析階段,兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中,針對15至45歲的人群,按比例隨機抽取了300份,進行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計,具體情況如下表:
組別 年齡 | A組統(tǒng)計結(jié)果 | B組統(tǒng)計結(jié)果 | ||
經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | 經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | |
27人 | 13人 | 40人 | 20人 | |
23人 | 17人 | 35人 | 25人 | |
20人 | 20人 | 35人 | 25人 |
(1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達到35歲”抽出一個容量為60人的樣本,再用分層抽樣的方法將“年齡達到35歲”的被抽個體數(shù)分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去.求這60人中“年齡達到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù);
(2)從統(tǒng)計數(shù)據(jù)可直觀得出“是否經(jīng)常使用共享單車與年齡(記作歲)有關(guān)”的結(jié)論.在用獨立性檢驗的方法說明該結(jié)論成立時,為使犯錯誤的概率盡可能小,年齡應(yīng)取25還是35?請通過比較的觀測值的大小加以說明.
參考公式:,其中.
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【題目】已知拋物線的準線l經(jīng)過橢圓的左焦點,且l與橢圓交于A,B兩點,過橢圓N右焦點的直線交拋物線M于C,D兩點,交橢圓于G,H兩點,且面積為3.
(1)求橢圓N的方程;
(2)當(dāng)時,求.
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【題目】學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設(shè)計方案如圖:航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分,降落點為.觀測點、同時跟蹤航天器.
(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程;
(2)試問:當(dāng)航天器在軸上方時,觀測點、測得離航天器的距離分別為多少時,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?
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