Question

【題目】對(duì)于雙曲線：（），若點(diǎn)滿足，則稱在的外部；若點(diǎn)滿足，則稱在的內(nèi)部.

（1）若直線上點(diǎn)都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點(diǎn)，圓（）在內(nèi)部及上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點(diǎn)都在的外部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）直線上點(diǎn)都在的外部等價(jià)于不等式的解為一切實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題從而求解；

（2）根據(jù)對(duì)稱性，只需要考慮這兩個(gè)曲線在第一象限及、軸正半軸的情況，由此可得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)和代入雙曲線得到兩個(gè)方程，然后將看成已知數(shù)，解出，根據(jù)，解出的范圍；

（3）先將曲線（）轉(zhuǎn)化為，根據(jù)所有點(diǎn)都在的外部，可以得到不等式對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均成立，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行分類討論，求解最值，從而得出的取值范圍.

解：（1）由題意，因?yàn)橹本�上點(diǎn)都在的外部，

所以直線上點(diǎn)滿足，

即求不等式的解為一切實(shí)數(shù)時(shí)的取值范圍.

對(duì)于不等式，

當(dāng)時(shí)，不等式的解集不為一切實(shí)數(shù)，

于是有解得.

故的取值范圍為.

（2）因?yàn)閳A和雙曲線均關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，

所以只需考慮這兩個(gè)曲線在第一象限及、軸正半軸的情況.

由題設(shè)，圓與雙曲線的交點(diǎn)平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧，

它們交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將，代入雙曲線方程，

得（*），

又因?yàn)?/span>過點(diǎn)，

所以，

將代入（*）式，

得.

由，

解得.

因此，的取值范圍為.

（3）由，

得.

將代入，

因?yàn)榍�線（）上的點(diǎn)都在的外部，

所以不等式對(duì)任意非零實(shí)數(shù)均成立，

其中.

令，設(shè)，（）.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不恒成立；

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)的最大值為，

因?yàn)?/span>，所以；

當(dāng)時(shí)，.

綜上，，解得.

因此，的取值范圍為.