【題目】已知函數(shù)

(1)討論的單調性;

(2)若存在兩個極值點,證明:

【答案】1)當時,單調遞減.,

時, 單調遞減,在單調遞增.

2)證明見解析.

【解析】分析:(1)首先確定函數(shù)的定義域,之后對函數(shù)求導,之后對進行分類討論,從而確定出導數(shù)在相應區(qū)間上的符號,從而求得函數(shù)對應的單調區(qū)間

(2)根據(jù)存在兩個極值點,結合第一問的結論,可以確定,得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根,利用韋達定理將其轉換,構造新函數(shù)證得結果.

詳解:(1)的定義域為,.

(i)若,則,當且僅當,,所以單調遞減.

(ii)若,令得,.

時,;

時,.所以單調遞減,在單調遞增.

(2)由(1)知,存在兩個極值點當且僅當.

由于的兩個極值點滿足,所以,不妨設,則.由于

,

所以等價于.

設函數(shù),由(1)知,單調遞減,又,從而當時,.

所以,即.

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