【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若求正整數(shù)的值；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在兩個(gè)正整數(shù)；1或2

【解析】

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得，，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得的值；（3）求得，，若為數(shù)列中的一項(xiàng)，整理化簡求得，的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為則

由已知，得

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，由得

由于而僅在時(shí)為正整數(shù)，與為奇數(shù)矛盾！

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由得

綜上，得

（3）由（1）可求得

若為數(shù)列中的一項(xiàng)，則（為正奇數(shù)）或（為正偶數(shù)）

（i）若（為正奇數(shù)），則

當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，由得解得

由于為正奇數(shù)，故此時(shí)滿足條件的正整數(shù)k不存在.

（ii）若（為正偶數(shù)），

顯然，則

由得得

由為正偶數(shù)得為正偶數(shù)，因此，從而

當(dāng)時(shí)，；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，顯然；

②假設(shè)當(dāng) 時(shí)，有 ；則當(dāng) 時(shí)，

由得，

故

即時(shí)，結(jié)論成立.

由①，②知：時(shí)，

綜合（i），（ii）得：存在兩個(gè)正整數(shù),1或2，使為數(shù)列中的項(xiàng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，任意兩次射擊相互獨(dú)立.

（1）求甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；

（2）現(xiàn)在甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對(duì)方為勝，環(huán)數(shù)低于對(duì)方為負(fù)，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合，，.

（1）求中所有元素的和，并寫出集合中元素的個(gè)數(shù)；

（2）求證：能將集合分成兩個(gè)沒有公共元素的子集和，，使得成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列與滿足，.

(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若,且數(shù)列是公比等于2的等比數(shù)列,求的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列；

(3)若,且，數(shù)列有最大值與最小值,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，A、B是海岸線OM、ON上兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為、，測得，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，一艘游輪以小時(shí)的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線BB經(jīng)過點(diǎn)Q）.

（1）問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘？

（2）海中有一處景點(diǎn)P（設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)，，且），游輪無法靠近，求游輪在水上旅游線AB航行時(shí)離景點(diǎn)P最近的點(diǎn)C的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于雙曲線：（），若點(diǎn)滿足，則稱在的外部；若點(diǎn)滿足，則稱在的內(nèi)部.

（1）若直線上點(diǎn)都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點(diǎn)，圓（）在內(nèi)部及上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點(diǎn)都在的外部，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.

(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；

(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使不等式f(x)≥2x－3對(duì)任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)由方程到確定，對(duì)于函數(shù)給出下列命題：

①對(duì)任意，都有恒成立：

②，使得且同時(shí)成立；

③對(duì)于任意恒成立；

④對(duì)任意，，

都有恒成立.其中正確的命題共有( )

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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