【題目】設(shè){an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)設(shè)pn= ,數(shù)列{pn}的前n項和為Sn
①試求最小的正整數(shù)n0 , 使得當(dāng)n≥n0時,都有S2n>0成立;
②是否存在正整數(shù)m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,請求出所有滿足條件的m,n;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0,等差數(shù)列{bn}的公差為d,∵a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.

=64,3b2=﹣42, +b2﹣d=2a2q+b2+d=0,

聯(lián)立解得a2=4,b2=﹣14,q=2,d=﹣2.

∴an= =4×2n2=2n,bn=b2+(n﹣2)d=﹣14﹣2(n﹣2)=﹣2n﹣10


(2)解:①∵pn=

數(shù)列{pn}的前2n項和S2n=(a1+a3+…+a2n1)+(b2+b4+…+b2n

= ﹣14n+ = ﹣2n2﹣12n.

n=1,2,3時,S2n<0.n≥4時,都有S2n>0.∴最小的正整數(shù)n0=4,使得當(dāng)n≥n0時,都有S2n>0成立.

②由S1=2,S2=﹣12,S3=﹣12+23=﹣4,S4=﹣22,S5=﹣22+25=10,

S6=﹣12,S7=﹣12+27=116.

由①可知:使得當(dāng)n≥4時,都有S2n>0成立,而an=2n>0.

因此n≥8時,都有Sn>0,且Sn單調(diào)遞增.

假設(shè)存在正整數(shù)m,n(m<n),使得Sm=Sn成立,

則取m=2,n=6時,Sm=Sn=﹣12成立,

由n≥8時,都有Sn>0,且Sn單調(diào)遞增,S8=90.因此Sm=Sn不可能成立.

綜上可得:只有m=2,n=6時,使得Sm=Sn成立.


【解析】(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出.(2)①pn= ,可得數(shù)列{pn}的前2n項和S2n=(a1+a3+…+a2n1)+(b2+b4+…+b2n)= ﹣2n2﹣12n.n=1,2,3時,S2n<0.n≥4時,都有S2n>0.即可得出.②由S1=2,S2=﹣12,S3=﹣4,S4=﹣22,S5=10,S6=﹣12,S7=116.由①可知:使得當(dāng)n≥4時,都有S2n>0成立,而an=2n>0.因此n≥8時,都有Sn>0,且Sn單調(diào)遞增.即可得出.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的前n項和公式的相關(guān)知識,掌握前項和公式:

練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列{ }的前n項和為Sn , 并求使得Sn + 成立的最小正整數(shù)n.

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分?jǐn)?shù)大于等于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計

周做題時間不少于15小時

4

19

周做題時間不足15小時

合計

45

(1)請完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;

(2)(ⅰ)按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

(ⅱ)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差.

附:

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(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;
(3)若對任意x1、x2∈[﹣1,1],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤t恒成立,求實數(shù)t的最小值.

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