【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, ,側(cè)面底面, , , 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)線面垂直的證明,往往利用線面垂直判定定理,即從線線垂直出發(fā)給予證明,而線線垂直的尋找與論證,一般從兩個方面,一是利用平幾知識,如本題經(jīng)解三角形可得,再根據(jù)中點(diǎn)條件得平行條件,從而可得.二是利用線面位置關(guān)系有關(guān)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如本題利用面面垂直的性質(zhì)定理可得線面垂直,再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可得線線垂直.(Ⅱ)解決有關(guān)線面角的問題,一般利用空間向量數(shù)量積進(jìn)行處理比較方便,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解出面的法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積求出直線向量與法向量夾角余弦值,最后根據(jù)線面角與向量夾角之間關(guān)系列等量關(guān)系,求出比值.
試題解析:
(Ⅰ)證明:在平行四邊形中,因為, ,
所以.由分別為的中點(diǎn),得,
所以.
因為側(cè)面底面,且,所以底面.
又因為底面,所以.
又因為, 平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)解:因為底面, ,所以兩兩垂直,
以分別為、、,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
所以, , ,
設(shè),則,
所以, ,易得平面的法向量.
設(shè)平面的法向量為,由, ,得
令, 得.
因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等,
所以,即,所以 ,
解得,或(舍). 綜上所得:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位舉行聯(lián)歡活動,每名職工均有一次抽獎機(jī)會,每次抽獎都是從甲箱和乙箱中各隨機(jī)摸取1個球,已知甲箱中裝有3個紅球,5個綠球,乙箱中裝有3個紅球,3個綠球,2個黃球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲得一等獎;若都是綠球,則獲得二等獎;若只有1個紅球,則獲得三等獎;若1個綠球和1個黃球,則不獲獎.
(1)求每名職工獲獎的概率;
(2)設(shè)X為前3名職工抽獎中獲得一等獎和二等獎的次數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)設(shè)pn= ,數(shù)列{pn}的前n項和為Sn .
①試求最小的正整數(shù)n0 , 使得當(dāng)n≥n0時,都有S2n>0成立;
②是否存在正整數(shù)m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,請求出所有滿足條件的m,n;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】參加衡水中學(xué)數(shù)學(xué)選修課的同學(xué),對某公司的一種產(chǎn)品銷量與價格進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖:
定價(元/) | ||||||
年銷售 | ||||||
(參考數(shù)據(jù):
)
(I)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與,與哪一對具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(給出判斷即可,不必說明理由)?
(II)根據(jù)(I)的判斷結(jié)果有數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字);
(III)定價為多少元/時,年利潤的預(yù)報值最大?
附:對一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a2=4,S5=30
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an
(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項和為Tn , 求證: ≤Tn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人一周5次乘車上班的時間(單位:分鐘)分別為10,11,9,x,11,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,那么這組數(shù)據(jù)的方差為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某搜索引擎廣告按照付費(fèi)價格對搜索結(jié)果進(jìn)行排名,點(diǎn)擊一次付費(fèi)價格排名越靠前,被點(diǎn)擊的次數(shù)也可能會提高,已知某關(guān)鍵詞被甲、乙等多個公司競爭,其中甲、乙付費(fèi)情況與每小時點(diǎn)擊量結(jié)果繪制成如下的折線圖.
(1)試根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算每小時點(diǎn)擊次數(shù)的均值方差并分析兩組數(shù)據(jù)的特征;
(2)若把乙公司設(shè)置的每次點(diǎn)擊價格為x,每小時點(diǎn)擊次數(shù)為,則點(diǎn)近似在一條直線附近.試根據(jù)前5次價格與每小時點(diǎn)擊次數(shù)的關(guān)系,求y關(guān)于x的回歸直線.(附:回歸方程系數(shù)公式:,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程為,過點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn),若拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與直線的夾角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a4=7,a10=19,其前n項和為Sn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an及Sn;
(2)若等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 且b1=2,b4=S4 , 求Tn .
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