【題目】設(shè)圓滿足:(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2;(2)被軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為.在滿足條件(1)、(2)的所有圓中,圓心到直線的距離最小的圓的方程為__________.
【答案】或
【解析】設(shè)圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點(diǎn)P到x軸,y軸的距離分別為|b|,|a|.
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°,知圓P截X軸所得的弦長(zhǎng)為,故r2=2b2,又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2,所以有r2=a2+1.
從而得2b2﹣a2=1.又點(diǎn)P(a,b)到直線x﹣2y=0的距離為,
所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2(a2+b2)=2b2﹣a2=1,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立,此時(shí)5d2=1,從而d取得最小值.
由此有,解此方程組得或由于r2=2b2知.
于是,所求圓的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
解法二:同解法一,得
∴,得①
將a2=2b2﹣1代入①式,整理得②
把它看作b的二次方程,由于方程有實(shí)根,故判別式非負(fù),即
△=8(5d2﹣1)≥0,得5d2≥1.∴5d2有最小值1,從而d有最小值.
將其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
將b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
綜上a=±1,b=±1,r2=2.由|a﹣2b|=1知a,b同號(hào).
于是,所求圓的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且4sin2 ﹣cos2A= .
(1)求角A的大。
(2)若BC邊上高為1,求△ABC面積的最小值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)F(0,﹣1),且與直線y=1相切;橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,F(xiàn)是其一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)(0,2)在橢圓N上.
(1)求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程和橢圓N的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(0,﹣4)作直線l交軌跡M于A,B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,射線OA,OB交橢圓N于C,D兩點(diǎn),求△OCD面積的最小值.
(3)附加題:過(guò)橢圓N上一動(dòng)點(diǎn)P作圓x2+(y﹣1)2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為G,H,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若在函數(shù)定義域內(nèi),總有成立,試求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線C1: ﹣ =1過(guò)點(diǎn)P且離心率為 .
(1)求C1的方程;
(2)若橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P,求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某學(xué)校學(xué)生體重的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,第2小組的頻數(shù)為10,則抽取的學(xué)生人數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E為DC邊的中點(diǎn),沿AE將△ADE折起,在折起過(guò)程中,有幾個(gè)正確( )
①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED.
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱.
(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)是, ,求證: .
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