長方形中,,.以的中點為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系.

(1) 求以為焦點,且過、兩點的橢圓的標準方程;
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點,是否存在直線,使得以線段為直徑的圓恰好過坐標原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
(1);(2) 存在過的直線:,理由見解析.

試題分析:(1)由題意可得點的坐標,設出橢圓的標準方程,根據(jù)題意知,求得,進而根據(jù)的關系求得,則橢圓的方程可得;(2)設直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立,設兩點坐標分別為.根據(jù)韋達定理求得,進而根據(jù)若以為直徑的圓恰好過原點,推斷則,得知,根據(jù)求得代入即可求得,最后檢驗看是否符合題意.
(1)由題意可得點的坐標分別為
設橢圓的標準方程是.

.
橢圓的標準方程是
(2) 由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.
聯(lián)立方程,消去整理得
兩點的坐標分別為

若以為直徑的圓恰好過原點,則,所以,
所以,,即
所以,即
滿足
所以直線的方程為,或.
故存在過的直線:使得以弦為直徑的圓恰好過原點.
練習冊系列答案
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A.圓B.橢圓C.雙曲線一支D.拋物線

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A.6B.C.D.

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