Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】（1） （2）在定義域上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，得出，化簡(jiǎn)得到，從而得到或1，再判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可確定實(shí)數(shù)的值；

(2) 令，利用作差法比較，的大小，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.

解：（1）由及函數(shù)為奇函數(shù)可知，

有，得

有，得，得，故有或1，

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不可能是奇函數(shù)，

②當(dāng)時(shí)，，令，可得，故此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)為奇函數(shù).

由上知.

（2）由（1）知，

令，有，

∵，

∴，，，

∴，可得，即，

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，即，

故函數(shù)在定義域上為減函數(shù).