【題目】如圖為某大河的一段支流,岸線(xiàn)近似滿(mǎn)足∥寬度為7圓為河中的一個(gè)半徑為2的小島,小鎮(zhèn)位于岸線(xiàn)上,且滿(mǎn)足岸線(xiàn)現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對(duì)岸的通道(圖中粗線(xiàn)部分折線(xiàn)段,在右側(cè)),為保護(hù)小島,段設(shè)計(jì)成與圓相切,設(shè)
(1)試將通道的長(zhǎng)表示成的函數(shù),并指出其定義域.
(2)求通道的最短長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【解析】
(1) 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),以為原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,先求出,
再求出,即可求出,再求函數(shù)的定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,即得通道ABC的最短長(zhǎng).
(1)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
因?yàn)?/span>與的距離為,
所以,
以為原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>,所以設(shè),
則直線(xiàn)的方程為,即
因?yàn)?/span>與圓相切,圓的半徑為,
所以,
因?yàn)?/span>,所以,
即,
所以,
由于,所以,
令,
則因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,所以,
即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
(2
令,得,則,其中,且.
由,得,
0 | + | ||
極小值 |
所以當(dāng)時(shí),,
即通道的最短長(zhǎng)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, ,點(diǎn)E在棱PB上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,x R其中a>0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記 ,求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-4,-1]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下是我們常見(jiàn)的空間幾何體.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)(10)
(11)
(1)以上幾何體中哪些是棱柱?
(2)一個(gè)幾何體為棱柱的充要條件是什么?
(3)如何求以上幾何體的表面積?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解方程.
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)A在拋物線(xiàn)E上,
點(diǎn)B在x軸上,且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形。
(1)求拋物線(xiàn)E的方程;
(2)設(shè)C是拋物線(xiàn)E上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)為拋物線(xiàn)E在點(diǎn)C處的切線(xiàn),求點(diǎn)B到直線(xiàn)距離的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)(,)
(1)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)為導(dǎo)數(shù),
(i)證明:當(dāng),時(shí),;
(ii)設(shè)關(guān)于的方程的根為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖象如圖,M是圖象的一個(gè)最低點(diǎn),圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求A,,的值;
(2)若關(guān)于x的方程在上有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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