Question

【題目】已知拋物線與二次曲線有4個不同的交點，由下面的草圖可以看出，下面三個結論是成立的，請給出證明.

（1）.兩曲線的4個交點中，至少有兩個交點位于軸的下方；

（2）.拋物線必與軸有兩個不同的交點，記為，，；

（3）.兩曲線的4個交點中，必存在一點，使.

注.對、、的不同取值會有無數個圖形，此處僅就，各給出一個示意圖，同時也就限制“由圖看出”的解答.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析

【解析】

（1）.聯立方程組

.

消去，得

解得，.

則兩曲線的4個交點中，至少有兩個交點的縱坐標為負數（是小于0的，并且也有可能小于0），這兩點位于軸的下方.

（2）由上證知，四個交點中有縱坐標為的，取其中一個為，代入拋物線方程得. ①

兩邊乘以后，配方得

.

則.

這表明，二次方程

②

的判別式大于0，從而有兩個不相等的實根，記為， ，得拋物線與軸交于兩點，.

（3）由、是方程②的兩個根知

. ③

又由①有.

把③代入，得，即.