設(shè)拋物線過定點,且以直線為準(zhǔn)線.
(1)求拋物線頂點的軌跡的方程;
(2)若直線與軌跡交于不同的兩點,且線段恰被直線平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為,試求的取值范圍.
解:(1)設(shè)拋物線的頂點為,則其焦點為.由拋物線的定義可知:. 所以,.
所以,拋物線頂點的軌跡的方程為: .
(2)因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標(biāo),由MN所唯一確定.所以,要求的取值范圍,還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手.
顯然,直線與坐標(biāo)軸不可能平行,所以,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得:
由于與軌跡交于不同的兩點,所以,,即:.(*)
又線段恰被直線平分,所以,.
所以,.
代入(*)可解得:.
由于為弦MN的垂直平分線,設(shè)MN的中點.
在中,令,可解得:.
將點代入,可得:.
所以,.
另解.設(shè)弦MN的中點為,則由點為橢圓上的點,
可知:.
兩式相減得:
又由于,
代入上式得:.
又點在弦MN的垂直平分線上,所以,.
所以,.
由點在線段BB’上(B’、B為直線與橢圓的交點,如圖),所以,.
也即:.所以,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
MB |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)拋物線過定點A(2, 0), 且以直線為準(zhǔn)線.
(1)求拋物線頂點的軌跡C的方程;
(2)已知點B(0, -5), 軌跡C上是否存在滿足的M、N兩點?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求拋物線頂點的軌跡C的方程;
(2)已知點B(0,-5),軌跡C上是否存在滿足·=0的M、N兩點?證明你的結(jié)論.
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