設(shè)拋物線過定點A(-1,0),且以直線x=1為準(zhǔn)線
(Ⅰ)求拋物線頂點的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M,N,且線段MN恰被直線x=-
12
平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍
分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線的頂點為G,則焦點坐標(biāo)可得,進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知:|AF|=點A到直線x=1的距離進(jìn)而利用兩點間的距離公式求得x和y的關(guān)系式求得拋物線頂點G的軌跡C的方程.
(Ⅱ)因為m是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標(biāo),由MN所唯一確定所以,要求m的取值范圍,還應(yīng)該從直線l與軌C相交入手
設(shè)直線l的方程與軌跡C的方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式大于0求得k的不等式方程,進(jìn)而根據(jù)線段MN恰被直線x=-
1
2
平分,求得xM+xN的表達(dá)式,進(jìn)而求得bk,帶代入到判別式求得k的范圍,下面只需找到m與k的關(guān)系,即可求出m的取值范圍.求得MN中點P的坐標(biāo),把x=-
1
2
代入即可求得y0的表達(dá)式,將P點坐標(biāo)代入直線方程求得k和m的關(guān)系式,進(jìn)而根據(jù)m的范圍求得k的范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)設(shè)拋物線的頂點為G(x,y),則其焦點為F(2x-1,y)由拋物線的定義可知:|AF|=點A到直線x=1的距離為2,
所以,
4x2+y2
=2
所以,拋物線頂點G的軌跡C的方程為x2+
y2
4
=1(x≠1)
(Ⅱ)顯然,直線l與坐標(biāo)軸不可能平行,所以,設(shè)直線l的方程為y=-
1
k
x+b,
代入橢圓方程得:(
4k2+1
k2
)
x2-
2bx
k
+b2-4=0
由于l與軌跡C交于不同的兩點M,N,所以,△=
4b 2
k2
-4(
4k2+1
k2
)(b2-4)>0,即4k2-k2b2+1>0(k≠0)(*)
又線段MN恰被直線x=-
1
2
平分,所以,xM+xN=
2bk
4k2+1
=2×(-
1
2

所以bk=
4k2+1
-2
,代入(*)可解得:-
3
2
<k<
3
2
(k≠0)
由于y=kx+m為弦MN的垂直平分線,故可考慮弦MN的中點P(-
1
2
,y0
在y=-
1
k
x+b,中,令x=-
1
2
,可解得:y0=-
1
k
+b=-2k

將點P(-
1
2
-2k)代入y=kx+m,可得:m=-
3
2
k
所以-
3
3
4
m<
3
3
4
,m≠0
點評:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.
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(2)已知點B(0,-5),軌跡C上是否存在滿足
MB
NB
=0的M、N兩點?證明你的結(jié)論.

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