Question

設(shè)拋物線過定點(diǎn)A（2，0），且以直線x=-2為準(zhǔn)線．
（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（0，-5），軌跡C上是否存在滿足

MB

•

NB

=0的M、N兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意要先求出拋物線的焦點(diǎn)，再有定義法這一常見的求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方法求解拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)要注意方程求解后的排雜這一過程；
（2）由（1）知道軌跡C為焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)橢圓，由于過定點(diǎn)，過設(shè)斜率，要分斜率不存在與存在兩種情況加以討論，寫出直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立進(jìn)而求解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)P（x，y），則拋物線的焦點(diǎn)F（2x+2，y），
由拋物線的定義可得

(2x+2-2)2+y2

=4．
∴

x2

4

+

y2

16

=1．
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1（x≠2）．
（2）不存在．證明如下：
過點(diǎn)B（0，-5）斜率為k的直線方程為y=kx-5（斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意），
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得（4+k²）x²-10kx+9=0，
由△≥0得k²≥

9

4

．
假設(shè)在軌跡C上存在兩點(diǎn)M、N，令MB、NB的斜率分別為k₁、k₂，則|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，顯然不可能滿足k₁•k₂=-1，
∴軌跡C上不存在滿足

MB

•

NB

=0的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：（1）此問重點(diǎn)考查了利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，還考查了拋物線的性質(zhì)，及求解軌跡方程后學(xué)生容易忽視的排雜過程；
（2）此問重點(diǎn)考查了直線與圓錐曲線橢圓的聯(lián)立解決有兩交點(diǎn)的問題及向量點(diǎn)積為0的實(shí)質(zhì)是直線垂直的問題．