【題目】已知為拋物線: 的焦點,過點作兩條互相垂直的直線,直線交于不同的兩點,直線交于不同的兩點,記直線的斜率為.
(1)求的取值范圍;
(2)設線段的中點分別為點,求證: 為鈍角.
【答案】(1){k|-<k<0或k>2}(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)由題意可設直線m的方程為y=k(x-2),將其代入拋物線方程后可得到一二次方程,根據(jù)判別式大于零可得k<0,或k>2.同理設直線n的方程為y=t(x-2),可得t<0,或t>2.根據(jù)以kt=-1,可解得k>0或-<k<0,從而可得所求范圍.(2)由(1)可得點M(2k,2k2-2k),N(2t,2t2-2t),根據(jù)F(0,1)可得到的坐標,通過證明且不共線可得為鈍角.
試題解析:
(1)由題可知k≠0,設直線m的方程為y=k(x-2),
由消去y整理得x2-4kx+8k=0,①
因為直線直線m交于不同的兩點,
所以Δ=16k2-32k>0,
解得k<0,或k>2.
設直線n的方程為y=t(x-2),
由消去y整理得x2-4tx+8t=0,
同理由Δ>0可得t<0,或t>2.
因為m⊥n,
所以kt=-1,
得-,或-,
解得k>0或-<k<0.
故k的取值范圍為{k|-<k<0或k>2}.
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
由①得x1+x2=4k,
所以,
故,
所以點M(2k,2k2-2k).
同理可得N(2t,2t2-2t),
又F(0,1),
所以=(2k,2k2-2k-1), =(2t,2t2-2t-1),
=4kt+(2k2-2k-1)(2t2-2t-1),
將kt=-1代入上式可得,
=-2k2-2t2+6(k+t)-3=-2(k+t)2+6(k+t)-7=-2(k+t-)2-<0
因為2k(2t2-2t-1)-2t(2k2-2k-1)=2(+k)≠0,
所以與不共線.
所以可得∠MFN為鈍角.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,圓.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設動圓同時平分圓的周長、圓的周長.
①證明:動圓圓心在一條定直線上運動;
②動圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.
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【題目】20名學生某次數(shù)學考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 天氣預報說明天下雨的概率為,則明天一定會下雨
B. 不可能事件不是確定事件
C. 統(tǒng)計中用相關系數(shù)來衡量兩個變量的線性關系的強弱,若則兩個變量正相關很強
D. 某種彩票的中獎率是,則買1000張這種彩票一定能中獎
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【題目】大慶實驗中學在高二年級舉辦線上數(shù)學知識競賽,在已報名的400名學生中,根據(jù)文理學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)估算一下本次參加考試的同學成績的中位數(shù)和眾數(shù);
(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù);
(3)已知樣本中有一半理科生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等.試估計總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.
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【題目】某書店銷售剛剛上市的某高二數(shù)學單元測試卷,按事先擬定的價格進行5天試銷,每種單價試銷1天,得到如下數(shù)據(jù):
單價x/元 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量y/冊 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(1)求試銷天的銷量的方差和關于的回歸直線方程;
附: .
(2)預計以后的銷售中,銷量與單價服從上題中的回歸直線方程,已知每冊單元測試卷的成本是10元,為了獲得最大利潤,該單元測試卷的單價應定為多少元?
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【題目】為了美化環(huán)境,某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪,休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形.擬修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計),設∠BAD=,(,).
(1)當cos=時,求小路AC的長度;
(2)當草坪ABCD的面積最大時,求此時小路BD的長度.
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