Question

已知函數(shù)，，．
(1)若，試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值的表達式．

Answer 1

(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù). 用單調(diào)性的定義證明即可， (2)   

試題分析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).          …………2分
證明：當(dāng)時，，在區(qū)間上任意，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).        …… 7分
(注：用導(dǎo)數(shù)法證明或其它方法說明也同樣給7分)
(2)因為，所以…… 9分
①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，
所以當(dāng)時，取得最大值為；                   …… 10分
②當(dāng)時，在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
而，
當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值為；
當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值為；
綜上得，  ……14分
點評：利用函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)最值及值域的最基本的方法，另外函數(shù)單調(diào)性的定義是證明單調(diào)性的最基本的方法，要掌握其步驟