Question

已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
(3)若存在，使得是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)  (2) 單調(diào)增區(qū)間為 (3)

試題分析：⑴因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011256348482.png" style="vertical-align:middle;" />，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
⑵由⑴，．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，總有在上是增函數(shù)，
又，所以不等式的解集為，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
⑶因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011256208578.png" style="vertical-align:middle;" />，使得成立，
而當(dāng)時(shí)，，
所以只要即可．
又因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011256613459.png" style="vertical-align:middle;" />，的變化情況如下表所示：

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

 
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值，的最大值為和中的最大值．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011256941266.png" style="vertical-align:middle;" />，
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240112569721094.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以在上是增函數(shù)．
而，故當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
所以，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．
綜上可知，所求的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率；第二問(wèn)求單調(diào)增區(qū)間主要是通過(guò)導(dǎo)數(shù)大于零；第三問(wèn)的不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，這是函數(shù)題經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法，本題第三問(wèn)有一定的難度