【題目】已知.

(Ⅰ)若曲線軸有唯一公共點(diǎn),求的取值范圍;

(Ⅱ)若不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

試題(Ⅰ)由題意,函數(shù)有唯一零點(diǎn),求導(dǎo),分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性,利用零點(diǎn)的存在定理,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)由題意,可得,構(gòu)造新函數(shù),則對(duì)任意的恒成立,分類討論,得到函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的,即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:

(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>..

由題意,函數(shù)有唯一零點(diǎn)..

(1)若,則.

顯然恒成立,所以上是增函數(shù).

,所以符合題意.

(2)若,.

;.

所以上是減函數(shù),在上是增函數(shù).

所以 .

由題意,必有(若,則恒成立,無(wú)零點(diǎn),不符合題意).

①若,則.

,則 .

;.

所以函數(shù)上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以,,且.

取正數(shù),則

取正數(shù),顯然.而,

,則.當(dāng)時(shí),顯然.

所以上是減函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),,所以.

因?yàn)?/span>,所以 .

上是減函數(shù),在上是增函數(shù).

則由零點(diǎn)存在性定理,、上各有一個(gè)零點(diǎn).

可見(jiàn),,或不符合題意.

注:時(shí),若利用,,,說(shuō)明、上各有一個(gè)零點(diǎn).

②若,顯然,即.符合題意.

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) .

,則對(duì)任意的恒成立.

(1)當(dāng)時(shí),.

當(dāng)時(shí),,所以上是減函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),.可見(jiàn),符合題意.

(2)若,顯然上是減函數(shù).

取實(shí)數(shù),顯然.

(利用

.

,上是減函數(shù),

由零點(diǎn)存在定點(diǎn),存在唯一的使得.

于是,當(dāng)時(shí),,函數(shù)上是增函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),.可見(jiàn),不符合題意.

當(dāng)時(shí),分如下三種解法:

解法一:(3)若,,.

,顯然上是減函數(shù),

所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以,當(dāng)時(shí),,上是減函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),.

所以,上是減函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),.可見(jiàn),符合題意.

(4)若,,.

,顯然上是減函數(shù),且,

所以,存在唯一的,使得,即.

于是,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以,上的最大值 .

式代入上式,得 .

所以,當(dāng)時(shí),,所以上是減函數(shù).

所以,當(dāng)時(shí),.可見(jiàn),符合題意.

綜上,所求的取值范圍是.

解法二:(3)若,對(duì)任意的恒成立對(duì)任意的恒成立.

,.

,當(dāng)時(shí), ,

所以上是增函數(shù).所以.

顯然上是減函數(shù),.

所以,當(dāng)時(shí),

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每周使用時(shí)間

及以上

4

3

3

7

6

30

6

5

4

4

8

20

合計(jì)

10

8

7

11

14

50

1)在每周使用該“應(yīng)用”時(shí)間不超過(guò)的樣本中,按性別分層抽樣,隨機(jī)抽取5名用戶:

①求抽取的5名用戶中男,女用戶各多少人;

②從這5名用戶中隨機(jī)抽取2名用戶,求抽取的2名用戶均為男用戶的概率.

2)如果每周使用該“應(yīng)用”超過(guò)的用戶認(rèn)為“喜歡該應(yīng)用”,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“喜歡該應(yīng)用”與性別有關(guān).

參考公式:,其中

下面的臨界值表僅供參考:

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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