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【題目】已知等差數列的前項的和為，公差，若，，成等比數列，；數列滿足：對于任意的，等式都成立.

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：數列是等比數列；

（3）若數列滿足，試問是否存在正整數，（其中），使，，成等比數列.

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在

【解析】

（1）將已知條件轉化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數列的通項公式.

（2）根據遞推關系式進行作差變形，求得，由此證得數列是等比數列.

（3）根據，，成等比數列，則，，成等差數列，由（2）求得，由此求得，，根據單調遞減，對進行分類討論，由此求得的值.

（1）設數列公差為，由題設得.

即，解得.

∴數列的通項公式為：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由得，③

∴，④

由得，由①知，，∴.

又，∴數列是等比數列.

（3）假設存在正整數，（其中），使，，成等比數列，則，，成等差數列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因為當時，，即單調遞減，

所以當時，，不符合條件，

所以或，

又，所以，所以

當時，得，無解，

當時，得，所以，

綜上：存在唯一正整數數組，使，，成等比數列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知命題表示雙曲線，命題表示橢圓．

⑴若命題為真命題，求實數的取值范圍．

⑵判斷命題為真命題是命題為真命題的什么條件（請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和 “既不充分也不必要條件”中的哪一個）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，函數f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)當a＝2時，求函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)若函數f(x)在(－1，1)上單調遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某班隨機抽查了名學生的數學成績，分數制成如圖的莖葉圖，其中組學生每天學習數學時間不足個小時，組學生每天學習數學時間達到一個小時，學校規(guī)定分及分以上記為優(yōu)秀，分及分以上記為達標，分以下記為未達標.

（1）根據莖葉圖完成下面的列聯表：

達標

未達標

總計

組

組

總計

（2）判斷是否有的把握認為“數學成績達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關.

參考公式與臨界值表：，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，第四日行二十四，幾朝才得到其關，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，其中第四天走了24里.”問此人（ ）天后到達目的地.

A.4B.5C.6D.8

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知命題，；命題關于的方程有兩個相異實數根.

（1）若為真命題，求實數的取值范圍；

（2）若為真命題，為假命題，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示,三棱柱的側面是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點。

(1)若圓柱的軸截面是正方形,當點C是弧AB的中點時,求異面直線與AB的所成角的大小(結果用反三角函數值表示)；

(2)當點C是弧AB的中點時,求四棱錐體積與圓柱體積的比.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其導函數設為.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點恰為的零點，試求，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍.

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