Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），離心率為 ，左準線方程是x=﹣2，設(shè)O為原點，點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求△AOB面積取得最小值時，線段AB的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，則離心率e= = ，準線方程：x=﹣ =2，

解得：c=1，a= ，

由b2=a2﹣c2=1，

橢圓C的方程：

（2）解：由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，

若k=0時，則A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），

此時△AOB面積為 ，AB= ．

若k≠0時，則直線OA：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

將y=kx代入橢圓 ，整理得：（1+2k2）x2﹣2=0，

由韋達定理可知：可得丨OA丨= = ，

直線OB：y=﹣ x與y=2聯(lián)立得：B（﹣2k，2），則OB=2 ，

S△OAB= OAOB= ，

令t= ＞1，

則S△OAB= = （t+ ）＞ ，

∴S△OAB的最小值為 ，在k=0時取得，此時AB=

【解析】（1）由題意可得：e= = ，x=﹣ =2，聯(lián)立求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 即可求得b的值，求得橢圓方程；（2）當k=0時，則A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），此時△AOB面積為 ，AB= ，當k≠0時，設(shè)直線OA方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得△AOB面積取得最小值，即可求得k的值，求得線段AB的長度．