Question

【題目】某居民區(qū)有一個(gè)銀行網(wǎng)點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱“網(wǎng)點(diǎn)”），網(wǎng)點(diǎn)開(kāi)設(shè)了若干個(gè)服務(wù)窗口，每個(gè)窗口可以辦理的業(yè)務(wù)都相同，每工作日開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)的時(shí)間是8點(diǎn)30分，8點(diǎn)30分之前為等待時(shí)段.假設(shè)每位儲(chǔ)戶在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的概率都相等，且每位儲(chǔ)戶是否在該時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)相互獨(dú)立.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)了各工作日在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)每工作日等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)的平均值；

（2）假設(shè)網(wǎng)點(diǎn)共有1000名儲(chǔ)戶，將頻率視作概率，若不考慮新增儲(chǔ)戶的情況，解決以下問(wèn)題：

①試求每位儲(chǔ)戶在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的概率；

②儲(chǔ)戶都是按照進(jìn)入網(wǎng)點(diǎn)的先后順序，在等候人數(shù)最少的服務(wù)窗口排隊(duì)辦理業(yè)務(wù).記“每工作日上午8點(diǎn)30分時(shí)網(wǎng)點(diǎn)每個(gè)服務(wù)窗口的排隊(duì)人數(shù)（包括正在辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶）都不超過(guò)3”為事件，要使事件的概率不小于0.75，則網(wǎng)點(diǎn)至少需開(kāi)設(shè)多少個(gè)服務(wù)窗口？

參考數(shù)據(jù)：；；

；.

Answer 1

【答案】（1）10（2）①0.01②4

【解析】

（1）先求出各組的頻率，根據(jù)均值公式得出平均值；

（2）①在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)服從，根據(jù)期望得出概率；

②先求出，然后與參考數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，得出整數(shù)的最值.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，各組的頻率依次為：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，

故所求的平均值為： .

即每工作日等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)的平均值為10.

（2）①設(shè)在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)為，

每位儲(chǔ)戶到網(wǎng)點(diǎn)辦理業(yè)務(wù)的概率為，則，

所以的數(shù)學(xué)期望，

將頻率視作概率，根據(jù)（1）的結(jié)論，所以，解得.

即每位儲(chǔ)戶在等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的概率為0.01.

②由①知，，則.

設(shè)網(wǎng)點(diǎn)共開(kāi)設(shè)了個(gè)服務(wù)窗口，

則事件即“每工作日等待時(shí)段到網(wǎng)點(diǎn)等待辦理業(yè)務(wù)的儲(chǔ)戶人數(shù)不超過(guò)”，

其概率為，

所以滿足的最小正整數(shù)，即為所求.

因?yàn)?/span> ，

，

所以，即為的最小值.

所以根據(jù)要求，網(wǎng)點(diǎn)至少需開(kāi)設(shè)4個(gè)服務(wù)窗口.