Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，邊長為2，E為AB中點，F是邊BC上的動點．

（1）將△ADE沿DE翻折90°到△SDE，求二面角S-DC-E的正切值；

（2）若，將△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF，接DF，設直線DS與平面DEF所成角為θ，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）過S作SG⊥DE于G，過G作GM⊥DC于M，連接SM，可得∠SMG為二面角S-DC-E的平面角，放入三角形中求解即可．（2）設S在面AEF上的射影為O，連接DO，則∠SDO為直線DS與面DEF所成角θ，設,利用可得SO和，換元利用函數單調性求解．

解：（1）如圖，過S作SG⊥DE于G，G作GM⊥DC于M，連接SM，

∵面SDE⊥面BCDE，面SDE∩面BCDE=DE，∴SG⊥面BCDE．

可得∠SMG為二面角S-DC-E的平面角．

在Rt△DAE中，AD=2，AE=1，∠A=90°，

∴，

∴，

∴

∴二面角S-DC-E的正切值為：．

（2）設S在面AEF上的射影為O，連接DO，則∠SDO為直線DS與平面DEF所成角θ．

∴SE⊥SD，SE⊥SB，∴SE⊥面DSF．

設，則CF=2-x．

．

在△DSF中，DS=2，SF=x，．

可得

，

∵

∴．

∴，

令，t∈（0，]，

∵函數在（0，）遞減，

∴當t=，即x=2時,sinθ最大，最大值為．