已知a>1,在函數(shù)y=logax(x≥1)的圖象上有A、B、C三點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為t、t+2、t+4.
(1)若△ABC的面積為S,求S=f(t);
(2)判斷S=f(t)的單調(diào)性.
分析:(1)過(guò)A,B,C,分別作AA
1,BB
1,CC
1垂直于x軸,垂足為A
1,B
1,C
1,則S=S梯形AA
1B
1B+S梯形BB
1C
1C-S梯形AA
1C
1C,進(jìn)而得出函數(shù)f(t)的表達(dá)式.
(2)由(1)中得f(t)=
log2(1+),先根據(jù) v>1,推斷v=t
2+4t為增函數(shù),進(jìn)而推斷函數(shù)f(t)為減函數(shù).
解答:解:(1)過(guò)A,B,C,分別作AA
1,BB
1,CC
1垂直于x軸,垂足為A
1,B
1,C
1,
則S=S梯形AA
1B
1B+S梯形BB
1C
1C-S梯形AA
1C
1C
| =[logat+loga(t+2)]×2+[loga(t+2)+loga(t+4)]×2-[logat+loga(t+4)]×4 | =loga=loga(1+) |
| |
(2)因?yàn)関=t
2+4t在[1,+∞)上是增函數(shù),且v≥5,
u=1+在[5.+∞)上是減函數(shù),且1<u≤
;S=
logau在(1,]上是增函數(shù),
所以復(fù)合函數(shù)S=f(t)=
loga(1+)在[1,+∞)上是減函數(shù)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.常涉及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域和最值等問(wèn)題.