已知橢圓的離心率為,為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn),、兩點(diǎn)在橢圓上,且,定點(diǎn).
(1)求證:當(dāng)時(shí);
(2)若當(dāng)時(shí)有,求橢圓的方程;
(3)在(2)的橢圓中,當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷 是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出這時(shí)兩點(diǎn)所在直線方程,若不存在,給出理由.
(1)詳見解析;(2)(3)存在,最大值為,直線方程為,或

試題分析:(1)設(shè),從而可得各向量的坐標(biāo)。當(dāng)時(shí),可得,間的關(guān)系。將點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合間的關(guān)系可得,即(2)當(dāng)時(shí)由(1)知故可設(shè)。根據(jù)解方程組可求得的值。(3)根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角形面積公式分析可知。設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消去 整理為關(guān)于的一元二次方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系。從而可用表示。用配方法求最值。注意討論直線斜率不存在和斜率為0兩種特殊情況。
(1)設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,
由M,N兩點(diǎn)在橢圓上,
,則舍,
 
(2)當(dāng)時(shí),不妨設(shè)

,橢圓C的方程為 
(3)
設(shè)直線的方程為
聯(lián)立,得,

 ,
 
,當(dāng),即時(shí)取等號(hào) .
并且,當(dāng)k=0時(shí),
當(dāng)k不存在時(shí)
綜上有最大值,最大值為
此時(shí),直線的方程為,或
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,且
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn),若的面積為,求點(diǎn)到直線距離的最大值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn))與橢圓交于兩點(diǎn),當(dāng)的平分線為 時(shí),求直線的斜率

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知線段,的中點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)滿足為正常數(shù)).
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線方程;
(2)若,動(dòng)點(diǎn)滿足,且,試求面積的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖).
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P,且與直線交于A,B兩點(diǎn),若的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,的中點(diǎn),當(dāng)直線交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)的連線與x軸垂直,且OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q,若的面積是20,求此時(shí)橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別焦距為,且與雙曲線共頂點(diǎn).為橢圓上一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求過、三點(diǎn)的圓的方程;
(3)若,且,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓的左右焦點(diǎn)為、,一直線過交橢圓于、兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)為   (  )
A.32B.16C.8D.4

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同步練習(xí)冊(cè)答案