Question

如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.

Answer 1

(1)   (2) 

試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目和即可得到之間的兩個方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.
(2)利用(1)求出焦點的坐標,設出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.
(1)由題可得,且,因為,且,所以且且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.
(2)由(1)可得,因為直線不垂直于軸,所以設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,,則,因為在直線上,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,則,設點到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因為在直線的兩端,所以,
則 ,又因為在直線上,所以,
則四邊形面積,因為,所以當時,四邊形面積的最小值為.