【題目】如圖，等腰梯形中，，，E為CD中點(diǎn)，將沿AE折到的位置．

（1）證明：；

（2）當(dāng)折疊過(guò)程中所得四棱錐體積取最大值時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】

（1）在平面圖中，連BE，DB，設(shè)DB交AE于F，要證，轉(zhuǎn)證平面，即證；

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值．

解：（1）在平面圖中，連BE，DB，設(shè)DB交AE于F，

因?yàn)?/span>是等腰梯形，，，E為CD中點(diǎn)

即，且

故四邊形為平行四邊形

又

所以平行四邊形為棱形，

同理可證也為棱形

所以．

于是得出在立體圖形中，

，平面

所以平面，

平面，

故

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，

此時(shí)平面，

以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則

則

設(shè)平面的法向量為

由，得

令，得

直線與平面所成角的正弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于雙曲線：()，若點(diǎn)滿足，則稱在的外部；若點(diǎn)滿足，則稱在的內(nèi)部.

(1)證明：直線上的點(diǎn)都在的外部.

(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的內(nèi)部或上，求的最小值.

(3)若過(guò)點(diǎn)，圓()在內(nèi)部及上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長(zhǎng)等于該圓周長(zhǎng)的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍.

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【題目】某高中三年級(jí)有AB兩個(gè)班，各有50名同學(xué)，這兩個(gè)班參加能力測(cè)試，成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

AB班成績(jī)的頻數(shù)分布表

分組

[50，60)

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

A班頻數(shù)

4

8

23

9

6

B班頻數(shù)

7

12

13

10

8

（1）試估計(jì)AB兩個(gè)班的平均分；

（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用M值作為衡量總體水平的一種指標(biāo)，已知M與分?jǐn)?shù)t的關(guān)系式為：M.

分別求這兩個(gè)班學(xué)生成績(jī)的M總值，并據(jù)此對(duì)這兩個(gè)班的總體水平作簡(jiǎn)單評(píng)價(jià).

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【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，且對(duì)一切，均有.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問(wèn)：是否存在正整數(shù)，對(duì)一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓：的中心為，一個(gè)方向向量為的直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)

（1）若且點(diǎn)在第二象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若經(jīng)過(guò)的直線與垂直，求證：點(diǎn)到直線的距離；

（3）若點(diǎn)、在橢圓上，記直線的斜率為，且為直線的一個(gè)法向量，且求的值.

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【題目】如圖圓錐PO，軸截面PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，過(guò)底面圓心O作平行于母線PA的平面，與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)E的距離為( )

A.1B.C.D.

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(1)求向量與的數(shù)量積;

(2)若點(diǎn)M,N分別是線段與線段上的點(diǎn),問(wèn)是否存在直線MN,平面ABCD?若存在,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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