Question

已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹，則復(fù)數(shù)z的模為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義可得i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i為首項(xiàng)，i為公式的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得Z=-1，計(jì)算Z的模，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，i、i²、i³、…、i²⁰¹¹是i為首項(xiàng)，i為公式的等比數(shù)列，
則Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

，
又由i^4n-1=-i，
則Z=i+i²+i³+…+i²⁰¹¹=

i(1-i2011)

1-i

=

i(1+i)

1-i

=-1，
則復(fù)數(shù)z的模為1；
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，要掌握虛數(shù)單位i的性質(zhì)，即i⁴ⁿ=1，i^4n-1=-i，i^4n-2=-1，i^4n-3=-i．