Question

一個公差不為0的等差數(shù)列{a_n}共有100項，首項為5，其第1、4、16項分別為正項等比數(shù)列{b_n}的第1、3、5項.

(1)求{a_n}各項的和S；

(2)記{b_n}的末項不大于，求{b_n}項數(shù)的最值N；

(3)記{a_n}前n項和為S_n，{b_n}前N項和為T_n，問是否存在自然數(shù)m，使S_m=T_n.

Answer 1

解：設(shè){a_n}公差為d，a₁=5,a₄=5+3d,a₁₆=5+15d分別為{b_n}的第1、3、5項,

∴(5+3d)²=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).

(1)S=100×5+×5=25 250.

(2)∵b₁=a₁=5,b₃=a₄=20，∴q²==4.

∴q=2或q=-2(舍),b_n=5·2^n-1.

令5·2^n-1≤，

∴2ⁿ≤5 050.又2¹²＜5 050＜2¹³，即n＜13,且2¹²=4 096＜5 050,

∴n的最大值N=12.

(3)設(shè)有S_m=T_n,即5m+×5=5(2¹²-1)，整理得m²+m-8 190=0，

∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S₉₀=T₁₂.