一個公差不為0的等差數(shù)列{an},首項為1,其第1、4、16項分別為正項等比數(shù)列{bn},的第1、3、5項.
(1)求數(shù)列{an},與{bn}的通項公式;
(2)記數(shù)列{an},與{bn}的前n項和分別為Sn與Tn,試求正整數(shù)m,使得Sm=T12;
(3)求證:數(shù)列{bn}中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
分析:(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以只需求出首項和公差,就可得到通項公式.同樣,因為數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,所以只需求出首項和公比,就可得到通項公式.把a1,a4,a16,都用a1,d表示,b1,b3,b5都用b1,q表示,因為{an},首項為1,其第1、4、16項分別為正項等比數(shù)列{bn},的第1、3、5項,可找到含a1,d,b1,q的幾個等式,解出a1,d,b1,q即可
(2)由(2)中所求的a1,d,b1,q的值,可求出數(shù)列{an},與{bn}的前n項和Sn與Tn,再令Sm=T12,解出m即可.
(3)用反證法證明,先假設(shè){bn}中存在三項bi,bj,bk(i<j<k)組成等差數(shù)列,根據(jù)假設(shè)求i,j,k的關(guān)系,得出不成立的結(jié)論,則假設(shè)不成立,命題的證.
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,∴a4=a1+3d,a16=a1+15d
又b1=a1,b3=a4,b5=a16∴b32=b1b5
∴(a1+3d)2=a1(a1+15d),∴9a1d=9d2.∵d≠0,a1=d.
∴d=1,an=n.
又{bn}的公比為q,∴q2=
b3
b1
=
a4
a1
=4,而bn>0,∴q>0,∴q=2,
∴b=2n-1
(2)∵Sm=
m(m+1)
2
,Tn=20+21+22+…+2n-1=2n-1
由Sm=T12,∴
m(m+1)
2
=212-1,∴m2+m-8190=0.
∴m=90,m=-91(舍),∴m=90.
(3)反證法:假設(shè){bn}中存在三項bi,bj,bk(i<j<k)組成等差數(shù)列,∴2bj=bi+bk
∴2×2j-1=2i-1+2k-1,(※)∵i<j<k,∴j-i∈N*,k-i∈N*
∴2j-i+1=2k-i+1.∵2j-i+1是偶數(shù),2k-i+1是奇數(shù),∴等式(※)不成立.∴反設(shè)不真.
∴{bn}中不存在三項構(gòu)成等差數(shù)列.
點評:本題考查了等差等比數(shù)列通項公式,前n項和的求法,以及反證法證明不等式,做題時要細心.
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