【題目】已知函數(shù)fx)=

1)求fx)>0的解集;

2)若xR時,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)(0,+∞)(2)[,+∞

【解析】

1)通過對fx)求導(dǎo),可得xR時,fx≥0,所以fx)在(﹣,+∞)上單調(diào)遞增,又f0)=0,x∈(0,+∞)時fx)>0,不等式得解;

2)若xR時,恒成立,不等式轉(zhuǎn)化為2eexxR),因為都是偶函數(shù),所以只需x[0,+∞)時,2ee2x1≥0成立即可,構(gòu)造新的函數(shù)Fx)=2ee2x1,求導(dǎo)后再對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論,可得實數(shù)m的取值范圍.

1)因為fx)=,則fx)=;

所以xR時,fx≥0,

所以fx)在(﹣,+∞)上單調(diào)遞增,又f0)=0

所以x∈(﹣,0)時,fx)<0,

x∈(0+∞)時fx)>0,

fx)>0的解集為(0+∞.

2)因為xR時,2ee2x+1恒成立,

等價于恒成立,

2eexxR),

因為都是偶函數(shù),

所以只需x[0,+∞)時,2ee2x1≥0成立即可,

Fx)=2ee2x1,F0)=0

Fx)=22mx+1e2e2x2e2x[2mx+1e1],F0)=0,

Gx)=(2mx+1e1,G0)=0,

Gx)=2me2mx+1)(2mx1e4m2x2+2m1e

①當(dāng)2m1≥0,即m時,Gx≥0,所以Gx)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

又因為G0)=0,所以x[0,+∞)時,Gx≥0,即Fx≥0,

所以Fx)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又因為F0)=0,所以x[0,+∞)時,Fx≥0,所以m時滿足要求;

②當(dāng)m0x1時,2ee2+1,不成立,所以m≠0;

③當(dāng)2m10m≠0時,即mm≠0時,x上單調(diào)遞減,

又因為G0)=0,所以x時,Gx)<0,即Fx)<0,

所以Fx)在上單調(diào)遞減,

又因為F0)=0,所以x時,Fx)<0

所以mm≠0時不滿足要求.

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是[,+∞.

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