【題目】

給定橢圓,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓準圓”.若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到F的距離為.

I)求橢圓的方程和其準圓方程;

(II )P是橢圓C準圓上的一個動點,過點P作直線,使得與橢圓C都只有一個交點,且分別交其準圓于點MN.

1)當P準圓軸正半軸的交點時,求的方程;

2)求證:|MN|為定值.

【答案】I(II )1;(2)見解析

【解析】

I)因為,所以

所以橢圓的方程為,

準圓的方程為.

II)(1)因為準圓軸正半軸的交點為P0,2,

設(shè)過點P0,2),且與橢圓有一個公共點的直線為,

所以,消去y,得到,

因為橢圓與只有一個公共點,

所以,

解得.

所以方程為.

2中有一條無斜率時,不妨設(shè)無斜率,

因為與橢圓只有一個公共點,則其方程為,

方程為時,此時與準圓交于點,

此時經(jīng)過點()且與橢圓只有一個公共點的直線是

(),即(),顯然直線垂直;

同理可證方程為時,直線垂直.

都有斜率時,設(shè)點,其中,

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為,

,消去得到

,

,

經(jīng)過化簡得到:,

因為,所以有,

設(shè)的斜率分別為,因為與橢圓都只有一個公共點,

所以滿足上述方程,

所以,即垂直.

綜合①②知:因為經(jīng)過點,又分別交其準圓于點M,N,且垂直,

所以線段MN為準圓的直徑,所以|MN|=4.

練習冊系列答案
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