Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，b），點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)D（2，0），其中a、b滿足， DE⊥x軸，且∠BED=∠ABO,直線AE交x軸于點(diǎn)C.

(1)求A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2) 若以AB為一邊在第二象限內(nèi)構(gòu)造等腰直角三角形△ABF，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)A(0,3)，B(-1,0)，E(2,1)，(2) (-4,1)(-3,4)(-2,2)

【解析】

（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，進(jìn)而可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；由已知角相等，加上一對(duì)直角相等，且根據(jù)A，B與D的坐標(biāo)確定出OA=BD，利用AAS得到△AOB與△BED全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OB=ED，進(jìn)而確定出E坐標(biāo).

（2）分∠BAF=90°，∠ABF=90°或∠AFB=90°三種情況進(jìn)行討論．

解：（1）∵a、b滿足+|b-3|=0，

∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，

∵A（0，3），B（-1，0）；

（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），

∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，

∴OA=BD=3，

在△ABO和△BED中，

∠AOB=∠BDE=90°，

∠ABO=∠BEO，

OA=BD，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴ED=OB=1，

∴E（2，1）.

（2）如圖所示，當(dāng)∠BAF=90°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)F1作F1G⊥y軸于點(diǎn)G，

∵∠F1AG+∠AF1G=90°，∠F1AG+∠BAO=90°，

∴∠AF1G=∠BAO，

在△AGF1與△BOA中，

∠AF1G=∠BAO，

∠AGF1=∠BOA，

AF1=AB，

∴△AGF1≌△BOA，

∴AG=OB=1，GF1=OA=3，

∴F1（-3，4）；

當(dāng)∠ABF=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F2作F2G⊥x軸于點(diǎn)H，

同理可得△OAB≌△HBF2，

∴BH=OA=3，F(xiàn)2H=OB=1，

∴OH=BH+OB=3+1=4，

∴F2（-4，1）；

當(dāng)∠AFB=90°時(shí)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（0，3），B（-1，0），

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=3x+3．

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M（-， ），

設(shè)線段AB的垂直平分線l的解析式為y=-x+c（a≠0），

∴+c=，解得c=，

∴直線l的解析式為y=-x+．

設(shè)F3（x，-x+），

∵△AF3B是等腰直角三角形，AB==，

∴AF3=，

∴x2+（-x+-3）2=5，解得x=-1，

∴F3（-1，2）．

綜上所述，F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，4）或（-4，1）或（-1，2）．