Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．

①求證：BD⊥CF；

②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（1）BD=CF成立。理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．

∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM。

又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。

∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。

②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴。

∴AN=FN=AE=1。

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。

∴在Rt△FCN中，。

在Rt△ABM中，。

∴AM=。

∴CM=AC﹣AM=4﹣，。

∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。

∴在Rt△BGC中，。

【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF。

（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF。

②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=。然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線段BG的長(zhǎng)。