Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D1E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求證：BC⊥D1E；
（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為 ，求線段D1E的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵底面ABCD和側(cè)面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，

又∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面DCC1D1，

∵D1E平面DCC1D1，∴BC⊥D1E；

（2）解：由（1）可知BC⊥D1E，

又∵D1E⊥CD，且BC∩CD=C，

∴D1E⊥平面ABCD．

設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，EG，EC，ED1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

則E（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），G（1，0，0）．

設(shè)D1E=a，則D1（0，0，a），B1（1，2，a）．

設(shè)平面BED1的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

=（1，1，0）， =（0，0，a），

由 ，令x=1，得 =（1，﹣1，0）；

設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為 =（x1，y1，z1），

=（1，0，0）， =（﹣1，1，a），

由 ，令z1=1，得 =（0，﹣a，1）．

由平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為 ，

得|cos＜ ＞|=| =|cos = ，解得a=1．

∴D1E=1．

【解析】（1）由已知底面ABCD和側(cè)面BCC1B1是矩形，可得BC⊥CD，BC⊥CC1 ， 由線面垂直的判定可得BC⊥平面DCC1D1 ， 進(jìn)一步得到BC⊥D1E；（2）由（1）可知BC⊥D1E，結(jié)合D1E⊥CD，可得D1E⊥平面ABCD．設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，EG，EC，ED1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BED1的一個(gè)法向量與平面BCC1B1的一個(gè)法向量，由平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為 列式求得a值，則線段D1E的長度可求．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)即可以解答此題．