Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC=3，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，E是拋物線的頂點(diǎn)．

（I）求b，c的值；

（Ⅱ）如圖1，連BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅲ）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M、與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）b=2，c=3；；（Ⅱ）F的坐標(biāo)為（0，2）；（Ⅲ）見(jiàn)解析．

【解析】分析：（I）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得系數(shù)b、c的值即可；

（Ⅱ）可設(shè)F（0，m），則可表示出F′的坐標(biāo)，由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式，把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng)，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo)，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：（I）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3），

將其代入y=-x2+bx+c，得

，

解得b=2，c=3；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）．

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）．

由（I）可知拋物線解析式為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴E（1，4），

∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），E（1，4），

∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y=-2x+6．

∵點(diǎn)F在BE上，

∴m=-2×2+6=2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）；

（Ⅲ）存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3-n）=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1．

①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n-1，-n2+4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，-n2+4n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，-n2+2n+3）．

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，

∴n=時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；

②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2-4）．

同理，NQ2=1+（2n-1）2，

∴n=時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

綜上可知存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（，）或（，）．