【題目】如圖,已知一條直線過點,且與拋物線交于兩點,其中點的橫坐標是

求這條直線的函數(shù)關系式及點的坐標.

軸上是否存在點,使得是直角三角形?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.

過線段上一點,作軸,交拋物線于點,點在第一象限,點,當點的橫坐標為何值時,的長度最大?最大值是多少?

【答案】(1) 直線,B(8,16);(2)存在,,理由見解析;(3)的橫坐標為時,的長度的最大值是

【解析】

(1)首先求得點A的坐標,然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式,從而求得直線與拋物線的交點坐標;

(2)如圖1,過點BBG∥x軸,過點AAG∥y軸,交點為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點C的坐標;

(3)設M(a,a2),如圖2,設MPy軸交于點Q,首先在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=a2+1,然后根據(jù)點P與點M縱坐標相同得到x=,從而得到MN+3PM=-a2+3a+9,確定二次函數(shù)的最值即可.

解:∵點是直線與拋物線的交點,且橫坐標為,

,點的坐標為

設直線的函數(shù)關系式為,

,代入得

解得,

∴直線

∵直線與拋物線相交,

解得:,

時,,

∴點的坐標為;

如圖,過點軸,過點軸,交點為

,

∵由,可求得

設點,同理可得,

,

①若,則,即,

解得:;

②若,則,即

解得:;

③若,則,即

解得:;

∴點的坐標為,,如圖,設軸交于點,

中,由勾股定理得,

又∵點與點縱坐標相同,

,

,

∴點的縱坐標為

,

∴當

又∵,

∴取到最小值

∴當的橫坐標為時,的長度的最大值是

練習冊系列答案
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