Question

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎同學(xué)用兩塊完全一樣的透明等腰直角三角板ABC、DEF進(jìn)行探究活動(dòng)．

操作：使點(diǎn)D落在線(xiàn)段AB的中點(diǎn)處并使DF過(guò)點(diǎn)C(如圖1)，然后將其繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至點(diǎn)E落在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)結(jié)束操作，在此過(guò)程中，線(xiàn)段DE與AC或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)K，線(xiàn)段BC與DF相交于點(diǎn)G(如圖2，3)．

探究1：在圖2中，求證：△ADK∽△BGD．

探究2：在圖2中，求證：KD平分∠AKG．

探究3：

①在圖3中，KD仍平分∠AKG嗎？若平分，請(qǐng)加以證明；若不平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②在以上操作過(guò)程中，若設(shè)AC=BC=8，KG=x，△DKG的面積為y，請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】探究1：證明見(jiàn)解析；探究2：證明見(jiàn)解析；探究3：y=2x，其中4≤x≤8-8．

【解析】

試題探究1，根據(jù)△ABC、△DEF是等腰直角三角形可知∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，由三角形內(nèi)角和定理可知∠KDA+∠BDG=135°．∠BDG+∠BGD=135°，故可得出△ADK∽△BGD；

探究2，根據(jù)△ADK∽△BGD可知，再由點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)得出BD=AD，故可得出△ADK∽△DCK，∠AKD=∠DKC，由此可得出結(jié)論；

探究3，①同探究1可得△ADK∽△BGD，同探究2可得，△ADK∽△DGK，故可得出結(jié)論；

②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥KG于點(diǎn)N，由①知線(xiàn)段KD平分∠AKG，故DM=DN．再由AC=BC=8，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∠KAD=45°，可知DM=DN=4．根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

試題解析：探究1，

∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，

∴∠KDA+∠BDG=135°．

∵∠BDG+∠BGD=135°，

∴∠KDA=∠BGD，

∴△ADK∽△BGD；

探究2，∵△ADK∽△BGD，

∴，

∵點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

∴BD=AD，

∴，

∴，

∵∠KAD=∠KDG=45°，

∴△ADK∽△DCK，

∴∠AKD=∠DKC，

∴KD平分∠AKG．

探究3，①KD仍平分∠AKG．

理由如下：

∵同探究1可得△ADK∽△BGD，

同探究2可得，△ADK∽△DGK，

∴∠AKD=∠DKG，

∴KD仍平分∠AKG；

②如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥KG于點(diǎn)N，

由①知線(xiàn)段KD平分∠AKG，

∴DM=DN．

∵AC=BC=8，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∠KAD=45°，

∴DM=DN=4．

∵KG=x，

∴S△DKG=y=×4x=2x，

對(duì)于圖3的情況同理可得y=2x，

綜上所示，y=2x，其中4≤x≤8-8．