Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為的⊙O，AC為直徑，AB＝，弦BD與AC交于點E，點P為BD延長線上一點，且∠PAD＝∠ABD，過點A作AF⊥BD于點F，連接OF．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）求證：∠AOF＝∠PAD；

（3）若tan∠PAD＝，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，推出PA⊥AC，于是得到AP是⊙O的切線；

（2）解直角三角形得到∠C＝45°，求得FA＝FD，連接OD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOF＝∠DOF，于是得到結(jié)論；

（3）延長OF交AD于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OG⊥AD，解直角三角形即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

即∠ABD+∠CBD＝90°，

∵，

∴∠CAD＝∠CBD，

∵∠PAD＝∠ABD，

∴∠PAD+∠CAD＝∠ABD+∠CBD＝90°，

即PA⊥AC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴AP是⊙O的切線；

（2）解：∵在Rt△ABC中，，

∴sinC＝，

∴∠C＝45°，

∵，

∴∠ADB＝∠C＝45°，

∵AF⊥BD，

∴∠FAD＝∠ADB＝45°，

∴FA＝FD，

連接OD，

∵OA＝OD，OF＝OF，FA＝FD，

∴△AOF≌△DOF（SSS），

∴∠AOF＝∠DOF，

∴∠AOD＝2∠AOF，

∵，

∴∠AOD＝2∠ABD，

∴∠AOF＝∠ABD，

∵∠ABD＝∠PAD，

∴∠AOF＝∠PAD；

（3）解：延長OF交AD于點G，

∵OA＝OD，∠AOG＝∠DOG，

∴OG⊥AD，

∵tan∠PAD＝，∠AOF＝∠PAD，

∴tan∠AOF＝，

在Rt△AOG中，AO＝，

設(shè)AG＝x，

∴AG2+OG2＝AO2，

x2+（3x）2＝（）2，

解得：x＝，

∴AG＝，OG＝，

∵∠FAD＝45°，OG⊥AD，

∴∠AFG＝∠FAD＝45°，

∴FG＝AG＝，

∴OF＝OG﹣FG＝．