【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣旋轉(zhuǎn)變換

(1)如圖①,在△ABC中,∠ABC=130°,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C,連接BB′,求∠A′B′B的大;
(2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C,連接BB′,以A′為圓心,A′B′長為半徑作圓.
①猜想:直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②連接A′B,求線段A′B的長度;
(3)如圖③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,連接A′B和BB′,以A′為圓心,A′B′長為半徑作圓,問:角α與角β滿足什么條件時(shí),直線BB′與⊙A′相切,請說明理由,并求此條件下線段A′B的長度(結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示)

【答案】
(1)

解:如圖①中

,

∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到,

∴∠A′B′C=∠ABC=130°,CB=CB′,

∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=50°,

∴∠CBB′=∠CB′B=65°,

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°


(2)

解:①結(jié)論:直線BB′、是⊙A′的切線.理由:如圖②中

∵∠A′B′C=∠ABC=150°,CB=CB′,

∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=60°,

∴∠CBB′=∠CB′B=60°,

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°.

∴AB′⊥BB′,

∴直線BB′、是⊙A′的切線.

②∵在RT△ABB′中,∵∠AB′B=90°,BB′=BC=5,AB′=AB=3,

∴A′B= =


(3)

解:如圖③中

當(dāng)α+β=180°時(shí),直線BB′、是⊙A′的切線.

理由:∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′,

∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=2β,

∴∠CBB′=∠CB′B=

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°.

∴AB′⊥BB′,

∴直線BB′、是⊙A′的切線.

在△CBB′中∵CB=CB′=n,∠BCB′=2β,

∴BB′=2nsinβ,

在RT△A′BB′中,A′B=


【解析】(1)根據(jù)∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可.(2)(Ⅰ)結(jié)論:直線BB′、是⊙A′的切線.只要證明∠A′B′B=90°即可.(Ⅱ)在RT△ABB′中,利用勾股定理計(jì)算即可.(3)如圖③中,當(dāng)α+β=180°時(shí),直線BB′、是⊙A′的切線.只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題.在△CBB′中求出BB′,再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可.本題考查圓的綜合題、旋轉(zhuǎn)不變性、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)解決問題,充分利用旋轉(zhuǎn)不變性,屬于中考?jí)狠S題.

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【題目】如圖,△ABC的面積為6,AC=3,現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折,使點(diǎn)C落在直線AD上的C′處,P為直線AD上的一點(diǎn),則線段BP的長不可能是( 。

A.3
B.4
C.5.5
D.10

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(1)求證:OF= BG;
(2)若AB=4,求DC的長.

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【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,從而得出結(jié)論:AC+BC= CD.
簡單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC= ,BC=2 ,則CD=
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的長.
拓展規(guī)律:
(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)
(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE= AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是

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(2)求△AOB的面積

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(1) +20120+|﹣3|﹣4cos30°
(2)1﹣

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