Question

【題目】如圖，AC是ABCD的對(duì)角線，∠BAC＝90°，ABC的邊AB，AC，BC的長是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，E，F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥BC，將BEF沿著EF折疊得到PEF，連接AP，DP．若APD為直角三角形時(shí)，BF的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

設(shè)直角三角形ABC的三邊長分別為x﹣2、x、x+2，利用勾股定理可得（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，解方程即可求出三邊長為6，8，10．分三種情況：①當(dāng)∠PAD＝90°，由平行四邊形的性質(zhì)得出CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，證明△ABP∽△CBA，求出BP＝，由軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)果；②∠APD＝90°，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，得出該情況不成立；③當(dāng)點(diǎn)P與C不重合時(shí)，∠APD＝90°，作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，BF＝．

解：設(shè)直角三角形ABC的三邊長分別為x﹣2、x、x+2，根據(jù)題意得：

（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，

解得x1＝0（舍去），x2＝8．

所以斜邊長BC為x+2＝10．

∴AB＝6，AC＝8，

分三種情況：

①當(dāng)∠PAD＝90°，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關(guān)于直線EF對(duì)稱，

∴BF＝PF＝BP＝；

②當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，點(diǎn)P與C重合時(shí)，如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，

∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，

則△BEF與△PEF關(guān)于直線EF不對(duì)稱，

∴該情況不存在；

③當(dāng)點(diǎn)P與C不重合時(shí)，∠APD＝90°，如圖3所示：

作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，BF＝；

綜上所述，若△APD是直角三角形，則BF的長為或；

故答案為：或．