【題目】在邊長為2的正方形ABCD中,P為AB上的一動點,E為AD中點,F(xiàn)E交CD延長線于Q,過E作EF⊥PQ交BC的延長線于F,則下列結(jié)論:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③當(dāng)P為AB中點時,CF=;④若H為QC的中點,當(dāng)P從A移動到B時,線段EH掃過的面積為,其中正確的是( )
A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
【答案】B
【解析】利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識一一判斷即可;
解:①∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=90°,
∵∠A=∠EDQ,∠AEP=∠QED,AE=ED,
∴△AEP≌△DEQ,故①正確,
②作PG⊥CD于G,EM⊥BC于M,
∴∠PGQ=∠EMF=90°,
∵EF⊥PQ,
∴∠PEF=90°,
∴∠PEN+∠NEF=90°,∵∠NPE+∠NEP=90°,
∴∠NPE=∠NEF,
∵PG=EM,
∴△EFM≌△PQG,
∴EF=PQ,故②正確,
③連接QF.則QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,設(shè)CF=x,
則(2+x)2+12=32+x2,
∴x=1,故③錯誤,
④當(dāng)P在A點時,Q與D重合,QC的中點H在DC的中點S處,當(dāng)P運動到B時,QC的中點H與D重合,
故EH掃過的面積為△ESD的面積的一半為,故④正確.
故選B.
“點睛”本題考查了正方形,全等三角形的性質(zhì)和判定,平行線性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力.
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【題目】根據(jù)“x與y的差的8倍等于9”的數(shù)量關(guān)系可列方程( )
A.x﹣8y=9
B.8(x﹣y)=9
C.8x﹣y=9
D.x﹣y=9×8
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【題目】張大爺要圍成一個矩形花圃.花圃的一邊利用墻另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形ABCD.設(shè)AB邊的長為x米.矩形ABCD的面積為S平方米.
(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時,S有最大值?并求出最大值.
(3)當(dāng)墻的最大可利用長度為10米時,圍成花圃的最大面積是多少?
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【題目】阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=AB+BD.
下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程.
證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中點,
∴MA=MC
任務(wù):(1)請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;
(2)填空:如圖(3),已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=2,D為⊙O上 一點, ,AE⊥BD與點E,則△BDC的周長是 .
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【題目】如果∠1與∠2是同旁內(nèi)角,且∠1=60°,則∠2( 。
A.為120°
B.為60°
C.為120°或60°
D.大小不定
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【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ACDB中,AB為直徑,AC:BC=1:2,點D為的中點,BE⊥CD垂足為E.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)求證:D為CE的中點;
(3)連接OE交BC于點F,若AB=,求OE的長度.
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