【題目】阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是的中點(diǎn),則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CD=AB+BD.

下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.

∵M(jìn)是的中點(diǎn),

∴MA=MC

任務(wù):(1)請(qǐng)按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;

(2)填空:如圖(3),已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=2,D為⊙O上 一點(diǎn), ,AE⊥BD與點(diǎn)E,則△BDC的周長是

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題分析: (1)首先證明△MBA≌△MGC(SAS),進(jìn)而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD,即可得出答案;

(2)方法一、首先證明△ABF≌ACD(SAS),進(jìn)而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,進(jìn)而求出DE的長即可得出答案.

方法二、先求出BE,再用(1)的結(jié)論得出BE=CD+DE,即可得出結(jié)論.

試題解析:

(1)證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MCMG.

M的中點(diǎn),

∴MA=MC.

在△MBA和△MGC

∴△MBA≌△MGC(SAS),

∴MB=MG,

又∵MD⊥BC,

∴BD=GD,

∴DC=GC+GD=AB+BD;

(2)解:方法一、如圖3,截取BF=CD,連接AF,AD,CD,

由題意可得:AB=AC,∠ABF=∠ACD,

在△ABF和△ACD

∴△ABF≌ACD(SAS),

∴AF=AD,

∵AE⊥BD,

∴FE=DE,則CD+DE=BE,

∵∠ABD=45°,

BE=,

則△BDC的周長是2+2

故答案為:2+2

方法二、∵△ABC是等邊三角形,

∴BC=AB=2,∠ABC=∠ACB,

∴由(1)的結(jié)論得,BE=DE+CD,

Rt△ABD中,∠ABD=45°,AB=2,

BE=

DE+CD=,

∴則△BDC的周長是BC+BD+CD=BC+BE+DE+CD=2+2

故答案為:2+2

點(diǎn)睛: 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì),正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵.

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